定义与表示

在数学的广阔天地里,向量以其独特的魅力，作为既有大小又有方向的量，在物理学、工程学乃至计算机图形学等多个领域扮演着至关重要的角色，不同于标量（如温度、质量）仅代表单一数值，向量由一个有向线段完全描述，其大小（或称模）反映了位置变化的幅度，而方向则指示了变化的具体路径，在二维平面上，向量常用带有箭头的线段表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头所指的方向即为向量的方向；三维空间中的向量则通过坐标系中的点和方向共同确定。

向量的加法与减法

1. 向量加法：这是向量运算中最为基础且直观的概念，相当于将两个力合成为一个新的力，设有两个向量 a(x1, y1) b(x2, y2) 它们的和记作 c=a+b 则在二维平面上，c的坐标为 (x1+x2, y1+y2) 在三维空间中，这一规则同样适用，只是维度增至三个方向： (x1+x2, y1+y2, z1+z2)

2. 向量减法：实质上是求两个向量之间的差值，可以理解为从一个位置移动到另一个位置所需的反向操作，设有向量 a 和 b 以及它们的差 d=a-b 则在二维平面上，d的坐标为 (x1-x2, y1-y2) 同样地，在三维空间中，d的坐标为 (x1-x2, y1-y2, z1-z2)

   

数量积（点积）

数量积是一个向量与另一个向量在所有可能方向上的投影乘积之和,它揭示了两个向量之间的角度关系及其对空间的影响，设有向量 a(x1, y1, z1) 和 b(x2, y2, z2) 它们的数量积（也称为点积）记作 ab 则计算公式为： ab = x1x2 + y1y2 + z1*z2 这个结果是一个标量，它不仅反映了两个向量夹角的余弦值乘以向量的模长，还可以用来计算物体在力的作用下沿某一方向的位移或转动惯量等物理量。

向量积（叉积）

向量积又称为叉积,是两个向量在垂直于它们所在平面的方向上的投影乘积之和，它描述了向量之间的旋转关系，常用于确定平面的法向量或判断向量是否共面，在二维平面内，由于只有一个垂直方向，叉积的结果为零；而在三维空间中，设有向量 a(x1, y1, z1) 和 b(x2, y2, z2) 它们的叉积记作 a×b 则计算公式为： a×b = (y1z2 - z1y2, z1x2 - x1z2, x1y2 - y1x2) 这个结果是一个向量，其方向垂直于a和b所在的平面，大小等于这两个向量围成的平行四边形的面积。

标量积（内积）

标量积是向量与其自身或其他向量在不同方向上的投影乘积之和,它反映了两个向量之间的线性相关性，即一个向量能否表示为另一个向量的倍数，设有向量 a(x1, y1) 和 b(x2, y2) 它们的标量积（也称为内积）记作 a·b 则计算公式为： a·b = x1x2 + y1y2 这个结果是一个标量，当且仅当两个向量平行时，标量积不为零；否则，标量积为零。

混合积与外积

混合积是由三个向量构成的体积元素,它描述了这三个向量围成的平行六面体的体积，设有向量 a(x1, y1) b(x2, y2) c(x3, y3) 它们的混合积记作 [abc] 则计算公式为： [abc] = a·(b×c) = b·(c×a) = c·(a×b) 这个结果是一个标量，其绝对值等于这三个向量围成的平行六面体的体积。

外积则是两个向量分别与其他向量进行混合积运算的结果,它描述了这两个向量之间的旋转关系以及它们与第三个向量的相对位置，设有向量 a(x1, y1) b(x2, y2) c(x3, y3) 它们的外积记作 a×b 则计算公式为： a×b = (y1z3 - z1y3, z1x3 - x1z3, x1y3 - y1x3) 这个结果是一个向量，其方向垂直于a和b所在的平面，大小等于这两个向量围成的平行四边形的面积，它还包含了a和b相对于c的方向信息。